「類群」

イデアル類群（イデアルるいぐん、英: ideal class group）あるいは類群（るいぐん、英: class group）とは、イデアルの類（英: ideal class）と呼ばれる(分数)イデアルの同値類と、それらの間の積によって定まる群のことであり、主に整数論において用いられる。イデアル類群は数体からイデアルへの移行の際に起こる、群としての拡張の度合いを測るある種の指標となる。
例えば、イデアル類群が自明 (⇔群の位数が1) であるとは全ての分数イデアルが単項イデアルであるということであり、これは数体の整数環が単項イデアル整域であることを意味する。他方、




Q

(


−
5


)


{\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}

はイデアル類群の位数が2であることが知られているが、実際この体では



6
=
2
⋅
3
=
(
1
+


−
5


)
(
1
−


−
5


)


{\textstyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}

が成り立つため、一意な素因数分解ができず、単項でないイデアル



(
2
,
1
+


−
5


)


{\displaystyle (2,1+{\sqrt {-5}})}

が存在する。
イデアル類群の位数は類数（るいすう、英: class number）と呼ばれる。歴史的にはイデアル類群の発見より以前に、判別式が等しい二元二次形式に対する同値類の数として類数は研究されていた。これが群演算を持つことは1801年のカール・フリードリヒ・ガウスの書籍によって示され、実際にこの同値類と群は二次体のイデアル類群に対応している。

出典：Wikipedia日本語版