「超球」

数学において、n 次元球面（n-じげんきゅうめん、英: n-sphere, n 球面）は普通の球面の n 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は





S

n


=
{
x
∈


R


n
+
1


:
‖
x
‖
=
r
}


{\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=r\}}


によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。
特に：

零次元球面は二点、すなわち直線内の（一次元の対象である）線分の零次元の対象である端点の対、
一次元球面は円、すなわち平面内の（二次元の対象である）円板の一次元の対象である円周、
二次元球面は三次元空間における（三次元の対象である）球体の二次元の対象である表面
である。
次元 n > 2 の球面は超球面 (hypersphere) と呼ばれることがあり、3 次元球面は glome と呼ばれることがある。原点に中心のある半径 1 の n 次元球面は n-次元単位球面または単位 n 次元球面 (unit n-sphere) と呼ばれ、Sn と表記される。単位 n 次元球面はしばしば the n-sphere と呼ばれる。
n 次元球面は (n + 1) 次元球体の表面あるいは境界であり、n 次元多様体である。n ≥ 2 に対して、n 次元球面は正の定曲率の単連結 n 次元多様体である。n 次元球面にはいくつかの他の位相的記述がある。例えば、2 つの n 次元ユークリッド空間を貼り合わせることによって、n-次元超立方体の境界を一点と同一視することによって、あるいは (n − 1) 次元球面の懸垂を（帰納的に）作ることによって構成できる。

出典：Wikipedia日本語版