「素数」

素数（そすう、英: prime あるいは prime number）とは、2 以上の自然数で、正の約数が 1 とその数自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。例えば、5 は素数である。なぜなら、5 を自然数の積として書くには、「1×5」か「5×1」しかないからである。しかし、4 を自然数の積で表すと、「1×4」、「4×1」の他に「2×2」があり、両方の数が4より小さいので合成数である。よって素数ではない。
日本では、英: prime number の日本語への訳語は「素数」とすることが1881年（明治14年）に決まった。和算では素数のことを単数と呼んでいた。
一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環




Z



{\displaystyle \mathbb {Z} }

での素数は有理素数（ゆうりそすう、英: rational prime）と呼ばれることもある。
最小の素数は 2 である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,…
素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のエウクレイデス（以下ユークリッド）の著書『原論』で既に証明されていた。そこでの証明は、背理法により次のようになる：

『素数全体は有限個と仮定して、全ての素数の総乗に1を足した数をNとする。Nはどの素数で割っても余りが1となる。一方、Nはどの素数よりも大きいので、Nは素数ではない。すなわち、Nはある素数で割り切れる。これは、Nを素数で割った余りが1であることに矛盾する。ゆえに、素数は無数にある。』
自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。
分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。現在知られている最大の素数は、2024年10月12日に発見された、それまでに分かっている中で52番目のメルセンヌ素数 2136279841 − 1 であり、十進法で表記したときの桁数は4102万4320桁に及ぶ。

出典：Wikipedia日本語版