「始数」

始順序数（しじゅんじょすう、英: initial ordinal）または始数（しすう、initial）とは、任意の順序数βに対してβ<α⇒card(β)<card(α)を満たす順序数αの事である (ここでcard(Ｘ)とは集合Ｘの濃度を表す) 。特に、濃度mの始順序数は、この定義により「濃度mの順序数のうち最小の順序数」となることからこのように呼ばれている (むしろこちらを定義とすることもある) 。
また文献によっては、単にもっとも初めの順序数たる0を指すこともある。これは0が後続順序数、極限順序数のいずれでもないことを明示するが、形式的な分類名以上の意味はなく、つまらない。
そのため、本記事では主に前者の意味での解説を行う。
フォン・ノイマンの割り当てとは、順序数を用いて濃度を割り当てる方法である。フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いて、整列可能な集合 U に対して、その濃度を U と等濃な最小の順序数として割り当てる。より正確にいえば、





|

U

|

=

c
a
r
d

(
U
)
=
inf
{
α
∈

O
N



|


α

=

c


U
}


{\displaystyle |U|=\mathrm {card} (U)=\inf\{\alpha \in \mathrm {ON} \ |\ \alpha =_{c}U\}}


である。ここで、 ON は順序数のクラスである。この順序数を濃度の始順序数と呼ぶ。
このような順序数がただ一つ存在することは、置換公理を用いると、U が整列可能であることと順序数のクラスが整列されていることから保証される。完全な選択公理を仮定するとどの集合も整列可能であり、ゆえにどの集合も濃度を持つと言える（順序数から導かれる順序で濃度を整列すればよい。この順序は ≤c による順序と同じであり、基数の整列順序である。

出典：Wikipedia日本語版