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同境

よみ

ドウキョウ

構成

同 (ドウ、おな-じ)
境 (キョウ、（ケイ）、さかい)

画数

20 画 (6 画 ＋ 14 画)

意味

微分位相幾何学において、同境（読み：どうきょう、英: cobordism、独: Kobordismus、仏: cobordisme、露: Бордизм、中: 配边）とはコンパクト可微分多様体におけるひとつの同値関係である。もし二つのコンパクト可微分多様体



M


{\displaystyle M}

と



N


{\displaystyle N}

が或るコンパクト多様体の境界



L


{\displaystyle L}

のような境界のようになることを与えるならば、それらは同境な（形容詞：仏: cobordant）または同境である（仏: cobordisme）。



L


{\displaystyle L}

が



M


{\displaystyle M}

と



N


{\displaystyle N}

からのひとつの同境を実現しても、このような多様体



L


{\displaystyle L}

が



M


{\displaystyle M}

と



N


{\displaystyle N}

からのひとつの同境である。そのような同境についての存在は



M


{\displaystyle M}

と



N


{\displaystyle N}

が同じ次元であることに関係する。
厳密にいうと、同境は同値関係ではない、なぜなら或る一定の



n


{\displaystyle n}

次元の可微分多様体における類別は集合ではない。しかしながら、二つの多様体



M


{\displaystyle M}

と



N


{\displaystyle N}

が同境であるにはこれらの多様体の微分同相の同値類での同一性に依存することが与えられている。同境は、微分同相を除いて区別する次元



n


{\displaystyle n}

の可微分多様体における集合での同値関係を定める。
規約しだいで、或る多様体は可算コンパクトを満たす。各々のコンパクトは局所地図 （フランス語: carte locale ）の領域の有限な個数において覆われることを与えられ、そして各々の領域は





R


n




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

の開集合で一体化する。或る可微分多様体はこのようにして連続体濃度である。次元



n


{\displaystyle n}

の可微分多様体の類は実数




R



{\displaystyle \mathbb {R} }

の集合における次元



n


{\displaystyle n}

の可微分多様体の集合のひとつの商として得られるのに似た微分同相により同一視される。
向き付けられた可微分多様体についての同境であるところの、より詳細な関係がある。境界をもつ或る多様体における或る向き付けはその境界における或る向き付けから得られる。



M


{\displaystyle M}

に連結する向き付け可能な可微分多様体について、異なった二つの向き付けが存在する。この向け付けが取り挙げられることにおいて一つあれば、



M


{\displaystyle M}

は向き付けられると呼ばれる。二番目の向き付けの負の多様体を





M
¯




{\displaystyle {\overline {M}}}

で記す。コンパクトな境界を持った或る多様体が存在し、





M
¯




{\displaystyle {\overline {M}}}

と



N


{\displaystyle N}

における直和が境界となるような向き付け



W


{\displaystyle W}

が存在すれば、二つの向き付けられたコンパクト多様体



M


{\displaystyle M}

と



N


{\displaystyle N}

は互いに同境と呼ばれる。



W


{\displaystyle W}

は



M


{\displaystyle M}

と



N


{\displaystyle N}

によって向き付けられた同境であると呼ばれる。
記事冒頭において取り上げるべきその他の同境についての概念も同じく存在する。

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